הטלת מטבע היא מערכת פשוטה ועתיקת יומין שיודעת לקבל החלטות של כן ולא. אלא שמחקרים מהשנים האחרונות מטילים ספק באקראיות שלה. האם יש מצב שהטכניקה החביבה הזאת תצא מכלל שימוש? האם נפסיק להטיל מטבעות באויר? קרוב לוודאי שלא.
————————————
כמה מילים על אַקְרְאִיּוֹת
איך שלא נראה את זה, אנחנו יצורים רציונליים שאוהבים שליטה ואוהבים לדעת מה קורה בחיים שלנו? ומה הולך להיות? במובן הזה אקראיות לא מתאימה לנו שהרי דברים שמתרחשים בלי כוונה או תכנון מראש, ובוודאי בלי תכלית, גורמים אי שקט ומערערים את תחושת היציבות. סביר להניח שבזמנים קדומים, במצבים קיצוניים של מחסור ומצוקה אישית, ה-מִקְרִיּוּת הביאה עימה את הגורל – אותה תחושה אישית ופטאליסטית לפיה אין לנו הרבה מה לעשות מאחר וכולנו כפופים לסדר טבעי וקבוע מראש של דברים, והכל זה "גורל משמיים".
מצד שני, יש בה ביד-המקרה גם הרבה תועלת. התכונה הזאת של אִי-צְפִיּוֹת משמשת ליישומים מעשיים רבים ומדענים עושים בה שימוש בתחומים שונים, כמו מתמטיקה, תורת המשחקים, תורת ההסתברות וקריפטוגרפיה.
החלטה קשה ולא נעימה
את הגורל אפשר גם להטיל, ואחד היישומים העממיים של תופעת האקראיות היא הטלת גורל – מערכת עתיקת יומין המתבססת על מגוון של אמצעים שונים ומשונים כגון, קלפים, הטלות קובייה וגם קריאה בקפה. כל אלה אמורים לספק תוצאה אקראית, ומתוך כך, אפשרות לקבל החלטות קשות ולא נעימות. הכוכב הבלתי מעורער של מנגנוני הטלת גורל למיניהן הוא מה שאנחנו מכנים (לפחות הבוגרים שבנו): עץ או פלי (המונח התייחס למטבע מיל המנדטורי שבצדו האחד היה ענף עץ זית – עץ, ובשני, הכיתוב פלשתינה – פלי), או בלשון אחר: הטלת מטבע. ההיסטוריה עמוסה בדוגמאות על יישוב סכסוכים באמצעות המטבע וכדאי לקרא בהזדמנות את הפרק המרשים שיש על זה בויקיפדיה.
סיפור שמצאתי ברשת (ללא מקור):
מרצה באחת הכתות באוניברסיטה שהשגיחה על הסטודנטים בזמן מבחן אמריקאי הבחינה בהתנהגות משונה של אחד התלמידים בשורה האחרונה. הסטודנט התכופף ועשה, כך נראה, תנועות משונות וחוזרות על עצמן. המורה שחשדה שהוא מעתיק התקרבה אליו, רק כדי להיווכח שהוא היה משליך מטבע קטנה, מביט בה ומסמן במקום המתאים בטופס המבחן. כאשר ראה את הבוחנת מיד הפסיק וחייך במבוכה כשהעירה לו. לאחר כרבע שעה היא ראתה שוב את אותו הסטודנט חוזר על מעשיו. כאשר שאלה אותו מה זה צריך להיות? השיב לה שהוא מבצע בדיקה חוזרת של התוצאות.
שכחת המטבע
אם הייתי מנסה לנחש מה הסיבות לפופולריות העצומה שיש להטלת המטבע בחברה האנושית הייתי אומר קודם כל שזו הפשטות היחסית של מערכת ההפעלה שלה. מנגנון הפעולה שלה חשוף לעיני כל וקל לבצע אותה. ולמרות זאת, בהנחה שעושים את זה בהגינות וללא אחיזת עיניים, היא תמיד נותנת תוצאות לא צפויות, וזה מרגש ומגניב. תכונה נוספת היא העובדה הפרוזאית שמדובר במכונה ללא זיכרון. לתוצאות קודמות אין כל השפעה על תוצאות עתידיות וזה, תודו, חלק מהעניין.
שֶׁקֶל אוֹ נֵבֶל
הטלת מטבע, כך מקובל לחשוב, היא מערכת אמינה למדי למתן תוצאות לא צפויות, ואפשר בהחלט להסתכן בהערכה סטטיסטית שאומרת שאם תזרקו מטבעות מספר רב מאד של פעמים, כמחצית מההטלות יגמרו בפלי (או בעץ). לצורך המחשה בצעתי בעצמי במרפסת הבית ניסוי הטלות של חצי שקל חדש, שמצדו האחד שקל ומצדו השני נבל קדום (כאן למטה).
במקרה שלי נצחה דווקא המוסיקה העתיקה, אולי בגלל החום שבחוץ שהניס אותי פנימה לאחר מספר מועט של הטלות. למי שמחפש, רשת האינטרנט עמוסה במכלול עצום של מטבעות וירטואלים ואינספור אתרים בהם אתה יכול לזרוק מטבעות כאוות נפשך. הנה לדוגמא העץ או פלי של גוגל. ועוד אחד של, ראש או זנב, כאן.
המתמטיקה של זריקת המטבעות
בהטלת מטבע וירטואלית אין כמובן כל הליך אקראי והכל נמצא באלגוריתם הכתוב שמסתתר מאחוריה. בתהליך הידני הסיפור אחר לחלוטין. פעולת הטלה, בין אם מדובר בתפישת המטבע ביד, בין אם הוא נופל על הרצפה, מלאה במהמורות והטיות פוטנציאליות. מעורבים בה גורמים רבים, כמו למשל: סוג המטבע, עוצמת ההטלה, הגובה, מהירות וזווית הסיבוב, הרכב האויר, צורה והרכב הרצפה ועוד ועוד.
אחד מהחוקרים הבולטים שעסק בנושא הזה הינו קוסם לשעבר וכיום מתמטיקאי באוניברסיטת סטנפורד בשם פרופ' פרסי דיאקוניס (Diaconis). דיאקוניס חקר את נושא האקראיות של הטלת המטבע (בתפישה ידנית) כשהוא נעזר גם במערכת מכאנית להטלת מטבעות, במערכת משוכללת של מצלמות וגם בכמה טריקים של קוסמים.
ניוטון והחוט הדנטלי
בקטע ווידאו מרתק שפורסם לא מכבר הוא אומר כי הטלת המטבע קרובה מאד להיות רנדומלית אבל לא לגמרי. אם אתה יודע מה המהירות שלה אחרי שהיא עוזבת את האצבע, הוא מסביר, ובאיזה מהירות היא מסתובב סביב עצמה, חוקי ניוטון אומרים לך מתי היא תגיע למטה, ואיך היא תיפול? העניין כמובן קצת יותר מורכב. לדוגמא, על מנת לאמוד את מספר הסיבובים של המטבע הוא חיבר לה חוט דנטלי ואחר כך מה שנותר לו היה למנות את מספר הפיתולים בחוט (ראו גיף למעלה).
המסקנה שלו די מעניינת. דיאקוניס קובע בפשטות שה-עץ או פלי הינה תהליך מוטה, ובעצם עם מה שאתה מתחיל זה גם מה שאתה גומר. אם למשל הטלת את המטבע שהיה מונח עם פלי למעלה, יש סיכוי, אמנם זעיר, שתקבל אותו למעלה גם בסוף. המאזן שיתקבל לאחר מספר משמעותי של הטלות יהיה מוטה לטובת פני המטבע שלמעלה בהסתברות של 51%. פשוט כך.
מלחמת ההטלות
האם נפסיק לזרוק מטבעות? התשובה שאני מציע היא שלילית, לפחות כל עוד שנשאר בני אדם. בהטלת מטבע יש משהו אנושי, כאילו סוג של שליטה בממלכת האקראיות. וזה לא דבר של מה בכך.
לפני למעלה ממחצית המאה כתב אייזיק אסימוב סיפור מד"ב קצר ונפלא בשם: המכונה שנצחה במלחמה*. הרקע הוא סיומה של מלחמה גדולה וממושכת עם מערכת הכוכבים של דנב. המלחמה שנסתיימה בניצחון גדול של בני כדור הארץ שהושג על פי כל הנתונים בעזרתו של סופר-מחשב מתקדם שכונה: מולטיוואק. בסצינה המרכזית הסיפור יושבים יחדיו מפעילי המחשב עם המושל של כדור הארץ ומדברים בשבחיו של מחשב העל ובתרומתו המכרעת לניצחון. ואז, בשלב מסוים מודים המפעילים כי שינו מעט את הנתונים שהוזנו, או שהתקבלו, מאחר והיו נתונים שלא נראו להם. הבוס הגדול מביט בהם בשקט ובמקום לנזוף בהם הוא מספר להם איך באמת קבל את ההחלטות שהכריעו את המערכה. ניחשתם נכון: הטלת קוביות.
——————————–
עידן הדיגיטלי שטרות ומטבעות יכחדו,וכולנו העבור זוג או פרד. או בגריסה החדשה ליזרד ספוק